三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。
参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门可赢得该汽车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。
问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率?
引自百度百科

起初,天真的我认为换不换门概率都是相等的

我们可以把这个事件拆分成两次来判断:

  1. 三扇门,其中一扇门是正确的。每扇门的命中概率为1/3。
  2. 去除一扇错误的门,换门和不换相当于第二次选择门,二选一。每扇门的命中概率为1/2。

如此看来换和不换对于选中正确的门的概率都是不变的。

但这种想法有一个致命错误——第一次被选中的门概率不会发生变化

概率存在于被给予的条件下,概率不能寄托在实际的物体上。

来做一个简单的思维实验

有三个盒子,其中一个盒子里藏有宝石,另外两个是空盒子。你选择了其中一个盒子,并把它锁在一间密室内。室外的主持人打开了其中一个空盒子,锁在密室内的盒子的中奖概率改变了吗?
没有,盒子的中奖概率在你选择它的那一刻就确定了(1/3),并不会因为之后的开奖环节而发生改变。

如果选择交换呢?
来看看我们到底做了什么:

  1. 选择一扇门(1/3概率中奖)
    此时另外两扇门视为一个整体,中奖概率为2/3
  2. 交换(舍弃1/3中奖概率的门,换得2/3中奖概率的门)

三门问题的结论是换门的中奖概率为2/3,大于不换门的中奖概率1/3

标签: 概率学

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